Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen



Gebrochenrationale Funktionen:     



I.) Asymptoten für



Je nach Zähler- bzw. Nennergrad kann man zwischen vier verschiedenen Fällen unterscheiden:
1.) Zählergrad < Nennergrad (n < m):

=> die x-Achse ist waagerechte Asymptote.

2.) Zählergrad = Nennergrad (n = m):

=> Die Gerade y = ist waagerechte Asymptote.


Nur für Stufe 12/13:

3.) Zählergrad = Nennergrad + 1 (n = m + 1): Polynomdivision (mit Rest) liefert eine schiefe Asymptote.

4.) Zählergrad > Nennergrad + 1 (n > m + 1): Polynomdivision (mit Rest) liefert eine Näherungskurve für .



Beispiele:
1.)

da Zählergrad > Nennergrad (3 > 2), ist die x - Achse waagerechte Asymptote.

2.)

da Zählergrad = Nennergrad, ist die Gerade mit y = 3 waagerechte Asymptote.



3.)     (Zählergrad = Nennergrad + 1)

Polynomdivision mit Rest liefert:

Somit ist die Gerade mit der Gleichung y = 2x + 2 schiefe Asymptote.



4.)     (Zählergrad > Nennergrad + 1)

Polynomdivision mit Rest liefert:

Das Schaubild von g(x)= (x - 1)2 ist die Näherungskurve für .


II.) Senkrechte Asymptoten

Senkrechte Asymptoten kann es an den Definitionslücken der gebrochenrationalen Funktion (d.h. den Nennernullstellen) geben. Falls es sich bei der Stelle x = k nicht um eine 'hebbare Definitionslücke' handelt, ist die Gerade mit der Gleichung x = k (eine Parallele zur y-Achse) eine senkrechte Asymptote. Die Stelle x = k wird auch als Polstelle bezeichnet, wobei man hier noch zwischen Polstellen mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel unterscheidet.

Beispiel:
Das Schaubild vonbesitzt bei x = 2 eine senkrechte Asymptote (Polstelle mit VZW).




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