Faktorisieren mithilfe von Linearfaktoren
Kennt man die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion, kann man diese als Produkt mithilfe ihrer Linearfaktoren darstellen.
Beispiel: Die Funktion f(x) = x4 - 2x3 - 5x2 + 6x besitzt die Nullstellen x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 und x4 = - 2.
Die zugehörigen Linearfaktoren sind (x - 0) = x, (x - 1), (x - 3) und (x - (- 2)) = (x + 2).
f(x) läßt sich dann wie folgt schreiben: f(x) = x·(x - 1)·(x - 3)·(x + 2)
Hinweise:
1.) Ist der Koeffizient zur höchsten Potenz an nicht 1 (wie im Beispiel), muss man diesen noch als zusätzlichen Faktor ergänzen: 2x2 - 2x - 12 = 2·(x - 3)·(x + 2)
2.) Eine Funktion n-ten Grades mit n Nullstellen lässt sich vollständig als Produkt von Linearfaktoren (und gegebenenfalls einer weiteren Zahl) darstellen.
Besitzt die Funktion allerdings weniger als n Nullstellen, so lassen sich Linearfaktoren nur zum Teil abspalten.
In der Produktdarstellung bleiben dann ganzrationale Funktionen 2./4./6... Grades ohne Nullstellen (z.B. (x2 + 1)) stehen.
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