אקסיומה – הבדלי גרסאות
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 11: | שורה 11: | ||
המפגש הראשון, ופעמים רבות גם האחרון, של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי ה[[גיאומטריה]]. האקסיומה הבולטת והמפורסמת במסגרת זו היא [[אקסיומת המקבילים]]. הניסיונות להוכיח אקסיומה זו על פי יתר האקסיומות של ה[[גיאומטריה]] הביאו ליצירתה של [[גיאומטריה לא-אוקלידית]]. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא ניתן להחליף אקסיומה אחת באחרת, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית. |
המפגש הראשון, ופעמים רבות גם האחרון, של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי ה[[גיאומטריה]]. האקסיומה הבולטת והמפורסמת במסגרת זו היא [[אקסיומת המקבילים]]. הניסיונות להוכיח אקסיומה זו על פי יתר האקסיומות של ה[[גיאומטריה]] הביאו ליצירתה של [[גיאומטריה לא-אוקלידית]]. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא ניתן להחליף אקסיומה אחת באחרת, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית. |
||
בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה העשרים עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס ה[[גיאומטריה]], ה[[אריתמטיקה]] ו[[תורת הקבוצות]]. |
בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה העשרים עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס ה[[גיאומטריה]] (האקסיומות של הילברט), ה[[אריתמטיקה]] (האקסיומות של פאנו) ו[[תורת הקבוצות]] (האקסיומות של צרמלו-פרנקל). |
||
[[en:Axiom]] |
[[en:Axiom]] |
||
גרסה מ־03:19, 27 באוגוסט 2003
מקורה של המלה אקסיומה הוא ביוונית העתיקה, ופירושה עיקרון מובן מאליו, שאינו דורש הוכחה.
במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, שאינה ניתנת להוכחה. השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תורה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו.
כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תורה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות:
- עקביות (קונסיסטנטיות): לא קיימת סתירה בין האקסיומות. קיום סתירה בין אקסיומות מאפשר להוכיח דבר והיפוכו.
- מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות.
דרישה סבירה נוספת היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת דרישה זו. משפט אי השלמות של גדל מוכיח שלא ניתן לקיים דרישה זו.
המפגש הראשון, ופעמים רבות גם האחרון, של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגיאומטריה. האקסיומה הבולטת והמפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. הניסיונות להוכיח אקסיומה זו על פי יתר האקסיומות של הגיאומטריה הביאו ליצירתה של גיאומטריה לא-אוקלידית. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא ניתן להחליף אקסיומה אחת באחרת, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית.
בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה העשרים עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגיאומטריה (האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (האקסיומות של פאנו) ותורת הקבוצות (האקסיומות של צרמלו-פרנקל).