אריתמטיקה

אריתמטיקה היא ענף המתמטיקה שבמשמעותו המצומצמת עוסק במספרים טבעיים ובפעולות ביניהם. במשמעות הרחבה ביותר של ענף זה הוא חופף לתורת המספרים. נסתפק כאן במשמעות המצומצמת של המושג.

ההגדרה הנאיבית של המספרים טבעיים היא סדרת המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... (יש הכוללים בתחילתה של סדרת המספרים הטבעיים את המספר 0). בסיס אקסיומטי למספרים הטבעיים ניתן באמצעות האקסיומות של פאנו:

1. קיים מספר טבעי 0.
2. לכל מספר טבעי a קיים עוקב, שנסמנו a+1.
3. אין מספר טבעי שהעוקב שלו הוא 0.
4. למספרים טבעיים שונים יש עוקבים שונים: אם a ≠ b אז a+1 ≠ b+1.
5. אם למספר 0 תכונה מסוימת, והעוקב של כל מספר טבעי בעל תכונה זו אף הוא בעל תכונה זו, אז כל המספרים הטבעיים הם בעלי תכונה זו. אקסיומה זו היא אקסיומת האינדוקציה.

בעקבות אקסיומות אלה ניתן להגדיר את פעולות החיבור והכפל:

• חיבור היא פעולה שמקיימת שתי תכונות:
  • a+0 = a : החיבור של a ו-0 שווה ל-a.
  • a+(b+1) = (a+b)+1 : החיבור של a והעוקב של b שווה לעוקב של החיבור של a ו-b.
• כפל היא פעולה שמקיימת שתי תכונות:
  • a*0 = 0
  • a*(b+1) = ab+a