Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs einer Funktion

Bei manchen Funktionen darf man nicht jeden beliebigen x-Wert einsetzen, weil sonst eine mathematisch unzulässige Operation durchgeführt werden müsste (z.B. Division durch 0, Wurzel aus einer negativen Zahl).
Bei derartigen Funktionen ist es daher wichtig, den maximalen Definitionsbereich zu kennen, d.h. alle reellen Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden können.
Die betroffenen Funktionenklassen sind:

1.) Funktionen, in deren Funktionsterm ein Bruch (mit der Variablen im Nenner) erscheint

a.) Spezialfall: gebrochenrationale Funktionen
Bei gebrochenrationalen Funktionen sind die Nennernullstellen Definitionslücken.

Beispiel:

Nennernullstellen sind hier 2 und 3 => D = R / {2,3}
Zu beachten: Die Definitionslücken bleiben auch dann erhalten, wenn man in der Linearfaktordarstellung von Zähler und Nenner Linearfaktoren kürzen kann! (Die Definitionslücke ist dann eben eine 'hebbare Definitionslücke' ('Lochstelle')).
Eine nicht hebbare Definitionslücke ist eine sogenannte 'Polstelle', hier besitzt das Schaubild eine senkrechte Asymptote.

b.) Allgemeiner Fall
Auch hier sind die Nennernullstellen Definitionslücken. Deren Bestimmung kann hier allerdings komplizierter sein.

Beispiel:

Alle Nullstellen der Kosinusfunktion sind hier Definitionslücken =>

2.) Wurzelfunktionen
Wurzelfunktionen sind nicht definiert, falls der Radikand kleiner als 0 ist.

Beispiel:

9 - x² < 0 für x < - 3 oder x > + 3, damit folgt

3.) Logarithmusfunktionen
Logarithmusfunktionen sind nur für Einsetzungen > 0 definiert.

Beispiel:
f(x) = log(x + 3) besitzt die maximale Definitionsmenge D = {x | x > - 3}